مساله سوزن کاکیا

مساله سوزن کاکیا
کاکیا ریاضی دان ژاپنی در سال 1917 مساله ای را مطرح کرد که بعدها به مساله سوزن کاکیا معروف شد. مساله بدین شکل بود:
((کمترین مساحت شکلی که در آن  میتوان سوزنی به طول واحد را به طور پیوسته در صفحه به  اندازه 180 درجه چرخاند، طوریکه که به جای اول خود برگردد ولی در جهت عکس، چند است؟ )) برای مثال در دایره ای به قطر 1 اگر وسط سوزن را در مرکز دایره قرار دهیم این کار امکان پذیر است. در  نیم دایره ای با شعاع 1 نیز این امر امکان پذیر است !!!!
حدس کاکیا و فوجی وارا این بود که با فرض محدب بودن، کوچکترین مجموعه محدبی که میتوان سوزن را در آن 180 درجه چرخاند مثلث متساوی الاضلاع به ارتفاع 1 است که مساحت آن 1به روی رادیکال 3 است. در سال 1921 جولیوس پال این حدس را اثبات کرد. اگر شرط محدب بودن رابرداریم، مجموعه هایی که مساحت کمتر داشته باشند نیز یافت میشوند مانند deltoid با سه راس که مساحت آن phi/8 است که کمتر از مساحت مثلث متساوی الاضلاع به ارتفاع 1 است.
اما در این میان جواب حیرت انگیزی برای مساله پیدا شد:   بسیکوویچ  (Besicovitch) ریاضیدان روسی در حل مسایلی در آنالیز فوریه و آنالیز هارمونیک به ارتباط تناتنگی با مساله سوزن کاکیا پی برد، او نشان داد که مجموعه هایی با مساحت به دلخواه کوچک ( از اندازه 0 ) وجود دارند که سوزن به طول واحد میتواند به صورت پیوسته در آن سرو ته شود.

 

تدریس خصوصی ریاضی در مشهد...